statistika, pengantar statistika

Judul: Pengantar Statistika

Pengarang: Prof. Dr. Husaini Usman, M.Pd., M.T

        R. Purnomo Setiady Akbar M.Pd

Tahun terbit: 2006

Penerbit: Bumi Aksara

BAB VII

UJI KESAMAAN DUA VARIANS DAN DUA RATA-RATA

A.    Uji Kesamaan Dua Varians

1.        Pendahuluan

Uji kesamaan dua varians digunakan untuk menguji apakah kedua data tersebut homogen yaitu dengan membandingkan kedua variansnya. Jika kedua varians tersebut sama besarnya, maka uji homogenenitas tidak perlu dilakukan lagi karena datanya sudah dapat dianggap homogen. Namun untuk varians yang tidak sama besarnya, perlu diadakan pengujian homogenitas melalui uji kesamaan dua varians ini.

Persyaratan agar pengujian homogenitas dapat dilakukan adalah apabila kedua datanya telah terbukti berdistribusi normal. Untuk melakukan pengujian homogenitas ada beberapa cara, namun dalam buku ini hanya diberikan tiga cara saja.

2.        Cara pengujian homogenitas

Pengujian homogenitas ada tiga cara yaitu:

a.         Varians terbesar dibandingkan varians terkecil.

b.         Varians terkecil dibandingkan varians terbesar.

c.         Uji Bartlett (untuk lrbih dari dua kelompok).

a.         Varians terbesar dibandingkan varians terkecil

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1)        Tulis H_a dan H₀ dalam bentuk kalimat.

2)        Tulis H_a dan H₀ dalam bentuk statistik.

3)        Cari F _hitung dengan menggunakan rumus:

F = Varians Terbesar

   Varians Terkecil

4)        Tetapkan taraf signifikansinya (α)

5)        Hitung F _tabeldengan rumus:

F table = F _{½ α} (dk varians terbesar -1, dk varians terkecil -1)

Dengan menggunakan tabel F didapat dari F _tabel

6)        Tentukan kriteria pengujian H₀ yaitu:

Jika F _hitung ≤ F _tabel, maka H₀ diterima (homogen)

7)      Bandingkan F _hitung dengan F _tabel.

8)      Buatlah kesimpulannya.

b.        Varians terkecil dibandingkan varians terkecil

Langkah-langkahnya: untuk langkah 1 sampai 5 seperti diatas, tetapi untuk langkah 3 = F _{hitung semula} langkah 5 = F _{tabel semula}. Kemudian lanjutkan dengan langkah 6 dan seterusnya sebagai berikut:

Cari F _{hitung kini} untuk langkah 3 dengan rumus:

F _kini = Varians terkecil

           Varians terbesar

6)    Cari F _{tabel kanan} dengan rumus:

       F _{tabel kanan} = F _{½ α} (dk varians terkecil -1, dk varians terbesar -1)

       Dengan menggunakan Tabel F didapat nilai F _{tabel kanan}.Nilai ini selanjutnya sebagai nilai maksimal.

7)    Cari F F _{tabel kiri} dengan rumus:

       F _{tabel kanan} = F _{½ α} (dk varians terkecil -1, dk varians terbesar -1)

       Atau

       F _{tabel kanan} =      1

                          F_{tabel semula}

8)   Tentukan kriteria pengujiannya yaitu:

       Jika -F _{tabel kiri} ≤ F _{hitung kini} ≤ +F _{tabel kanan ,}maka H₀ diterima (homogen)

9)      Bandingkan nilai -F _{tabel kiri} , F _{hitung kini} dan F _{tabel kanan}.

10)  Buatlah kesimpulannya.

c.         Uji Bartlett

Uji Bartlett digunakan apabila pengujian homogenitas dilakukan terhadap tiga varians atau lebih. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1)        Varians terbesar dibandingkan varians terkecil.

2)        Varians terkecil dibandingkan varians terbesar.

3)        Buatlah tabel penolong untuk uji Bartlett.

TABEL VII

TABEL PENOLONG UJI BARTLETT

Kelompok ke:	Dk	1 dk	Si2	Log S22i	Dk Log S22i
1 2 3 K	n1-1 n2-1 n3-1 nk-1	1 n1-1 1 n2-1 1 n2-1 1 nk-1	S212 S222 S232 S2k2	Log S221 Log S222 Log S223 Log S22k	Dk Log S221 Dk Log S222 Dk Log S223 Dk Log S22k
∑	(ni-1)	1 ni-1			Dk Log S22i

4)        Hitung s² dengan menggunakan rumus:

s² = ∑(n_i - 1)s²_i

∑(n_i - 1)

5)        Hitung log s².

6)        Hitung B dengan rumus:

B = (log s²) ∑(n_i - 1)

7)        Cari X²_hitung dengan rumus:

X²_hitung= (2,3026) B - (log s²) ∑(n_i - 1)

8)        Tetapkan taraf signifikansi (α)

9)        Cari X²_tabel dengan rumus:

X²_tabel= X²_(1-α)(dk)

Di mana dk= banyak kelompok -1

Dengan menggunakan X² dengan X²_tabel.

10)    Bandingkan X2hitung dengan X2tabel.

11)    Buatlah kesimpulannya.

B.     Uji Kesamaan Dua Rata-rata

1.      Pendahuluan

Uji kesamaan dua rata-rata digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya perbedaan (kesamaan) antara dua buah data. Salah satu teknik analisis statistik untuk mrnguji kesamaan dua rata-rata ini ialah uji tt test) karena rumus yang digunakan disebut rumus t. rumus t sendiri mempunyai banyak ragamnya dan pemakaiannya disesuaikan dengan karakteristik kedua data yang akan dibedakan.

Ada beberapa persyaratan yang harus dipenuhi sebelum uji t dilakukan, persyaratannya sebagai berikut:

a.       Data masing-masing berdistribusi normal

b.      Data dipilih secara acak

c.       Data masing-masing homogen.

2.      Langkah-langkah Uji kesamaan Dua Rata-rata

1)      Uji atau asumsikan bahwa data dipilih secara acak

2)      Uji atau asumsikan bahwadata berditribusi normal.

3)      Asumsikan bahwa kedua variansya homogen.

4)      Tulis H_a dan H₀ dalam bentuk kalimat.

5)      Tulis H_a dan H₀ dalam bentuk statistik.

6)      Cari F _hitung dengan menggunakan rumus tertentu.

7)      Tetapkan taraf signifikansi (α)

8)      Cari t_tabel dengan pengujian dua pihak di mana dk= n₁+n₂-2 dan dengan menggunakan tabel t didapat nilai t_tabel.

9)      Tentukan kriteria pengujian yaitu:

Jika -t_tabel ≤ t_hitung ≤+t_tabel, maka H₀ diterima.

10)  Bandingkan t_hitung dengan t_tabel.

11)  Buatlah kesimpulannya.

BAB VIII

UJI KESAMAAN BEBERAPA RATA-RATA

A.    Pendahuluan

Jika uji kesamaan dua rata-rata atau uji t digunakan untuk mencari perbedaan atau persamaan dua rata-rata, maka uji beberapa rata-rata digunakan untuk mencari perbedaan atau persamaan beberapa rata-rata. Uji ini disebut dengan namaanalysis of variance (anova atau anava)

B.     Macam-macam anova

1.  Anova satu jalur (anova tunggal, anova satu arah atau one way anova)

2.  Anova dua jalur (anova ganda, anova dua arah atau two way anova)

C.     Langkah-langkah anova satu jalur

1)      Uji atau asumsikan bahwa data masing-masing dipilih secara acak

2)      Uji atau asumsikan bahwa data masing-masing berditribusi normal.

3)      Asumsikan bahwa data masing-masing homogen.

4)      Tulis H_a dan H₀ dalam bentuk kalimat.

5)      Tulis H_a dan H₀ dalam bentuk statistik.

6)      Buatlah tabel penolong anova sebagai berikut:

TABEL VIII.3

PENOLONG ANOVA

Nomor Responden	Variabel bebas
	X1	X2	X3	….	Xn
	n1	n2	n3		nn	N
	∑X1	∑X2	∑X3		∑Xn	∑X
	X1	X2	X3		Xn
	s21	s22	s23		s2n

7)      Hitung jumlah kuadrat rata-rata dengan rumus:

JK_R= (∑X₁ + ∑X₂ + ∑X₃ + …+ ∑X_n)²

                        n₁+n₂+n₃+….+n_n

8)      Hitung jumlah kuadrat antarkelompok dengan rumus:

JK_A =  (∑X₁)² + (∑X₂)² + (∑X₃)² + …. +(∑X_n)² -JK_R

               n₁              n₂                    n₃                     n_n

9)      Hitung jumlah kuadrat dalam kelompok dengan rumus:

JK_D = ∑X² - JK_R- JK_A

10)  Hitung derajat kebebasan rata-rata dengan rumus:

dk_rata-rata = 1

11)  Hitung derajat kebebasan antarkelompok dengan rumus:

dk_A = k - 1

12)  Hitung derajat kebebasan dalam kelompok dengan rumus:

Dk_D = N - k

13)  Hitung rata-rata jumlah kuadrat antar kelompok dengan rumus:

RK_rata-rata = JK_R

                    Dk_R

14)  Hitung rata-rata jumlah kuadrat antar kelompok dengan rumus:

RK_A = JK_R

             Dk_A

15)  Hitung rata-rata jumlah kuadrat dalam kelompok dengan rumus:

RK_D = JK_D

             Dk_D

16)  Cari F_hitung dengan rumus:

F_hitung = RK_A

              RK_A

17)  Tetapkan taraf signifikansi (α)

18)  Cari F_tabel dengan rumus:

F_tabel= F _{(1-α)(dkA,dkB)}

19)  Masukan semua nilai yang telah didapat kedalam tabel anova berikut:

TABEL VIII.4

ANOVA

Jumlah variasi	Jumlah Kuadrat (JK)	dk	Rata-rata Kuadrat (RK)	F
Rata-rata Antar kelompok Dalam kelompok	JKR JKR JKR	1 dkA dkD	RKR RKA RKD	Fhitung
Jumlah	∑X2	∑ni

20)  Tentukan kriteria pengujiannya:

Jika F_hitung ≤F_tabel, maka H₀ diterima.

21)  Bandingkan F_hitung dengan F_tabel.

22)  Buatlah kesimpulannya

23)  Seandainya H₀ ternyata ditolak, maka perhitungan dilanjutkan agar dapat diketahui pasangan mana yang berbeda dengan menggunakan uji t atau uji Scheffe atau uji Turkey.

BAB IX

POPULASI DAN SAMPEL

A.      POPULASI

Populasi ialah semua nilai baik hasil perhitungan maupun pengukuran, baik kuantitatif maupun kualitatif, daripada karakteristif tertentu mengenai sekelompok objek yang lengkap dan jelas.

Populai dalam setiap penelitian harus disebutkan secara tersurat yaitu yang berkenaan dengan besarnya anggota populasi serta wilayah penelitian yang disebutkan secara tersurat yaitu yang berkenaan dengan besarnya anggota populasi serta wilayah penelitian yang dicakup.Tujuan diadakannya populasi adalah agar kita dapat menentukan besarnya anggota sampel yang diambil dari anggota populasi dan membatasi berlakunya daerah generalisasi.

Ditinjau dari banyaknya anggota populasi, maka populasi terdiri atas: (1) populasi terbatas (terhingga), dam (2) populasi tak terbatas (takterhingga). Namun dalam kenyataannya populasi terhingga selalu menjadi populasi yang tak terhingga. Ditinjau dari sudut sifatnya, maka populasi dapat bersifat : (1) homogen dan (2) heterogen.

Penelitian yang menggunakan seluruh anggota populasinya disebut sampel total atau sensus. Penggunaan ini berlaku jika anggota populasi relative kecil.Untuk anggota populasi yang relative besar, maka diperlukan mengambil sebagian anggota populasi yang dijadikan sampel.Pengambilan anggota sampel yang merupakan sebagian dari anggota populasi tadi harus dilakukan dengan teknik tertentu yang disebut dengan teknik sampling.Demikian pula untuk menentukan banyaknya anggota sampel haruslah menggunakan rumus, grafik, atau tabel tertentu seperti uraian berikut.

B.       TEKNIK PENGAMBILAN CONTOH (TEKNIK SAMPLING)

Dalam statistika terbagi atas dua jenis, yaitu statistika deskriptif dan statistika induktif (inferensial). Statistika induktif (inferensial) ialah suatu proses yang berusaha untuk menarik kesimpulan tentang keadaa populasi berdasarkan sampel yang diambil, dengan menggunakan metode tata cara tertentu.

Sampel (contoh) ialah sebagian anggota populasi yang diambil dengan menggunakan teknik tertentu yang disebut dengan teknik sampling. Teknik sampling berguna agar:

1)      Mereduksi anggota populasi menjadi anggota sampel yang mewakili populasinya (refresentatif), sehingga kesimpulan terhadap populasi dapat dipertanggungjawabkan.

2)      Lebih teliti menghitung yang sedikit daripada yang banyak.

3)      Menghemat wakt, tenaga, biaya, mengehmat benda coba yang merusak.

C.       CARA MELAKUKAN TEKNIK SAMPLING

Teknik pengambilan contoh dapat dilakukan dengan dua cara yaitu:

1)      Sampling Random (probability Sampling), yaitu pengambilan contoh secara acak (random) yang dilakukan dengan cara undian, ordinal atau tabel bilangan random atau dengan komputer.

2)      Sampling nonrandom (nonprobability sampling) atau disebut juga dengan incidental sampling, yaitu pengambilan contoh tidak secara acak.

D.      PENENTUAN BESARNYA ANGGOTA SAMPEL (SAMPLE SIZE)

Besar anggota sampel harus dihitung berdasarkan teknik-teknik tertentu agar kesimpulan yang berlaku untuk populasi dapat dipertanggungjawabkan.Di samping itu harus pula memenuhi teknik sampling seperti yang diuraikan diatas tadi.

Besarnya anggota sampel yang dipilih berdasarkan pertimbangan-pertmbangan: (1) praktis, (2) ketepatan, (3) non respon, (4) analisis data.

1.      Pertimbangan Praktis

Pertimbangan praktis menyangkut:

a)        Unsur-unsur biaya, waktu, tenaga, dan kemampuan.;

b)        Untuk eksploratori (exploratory) atau penemuan atau penjajakan, maka anggota sampel tidak perlu banyak ataukah untuk eksplanatori (ezplanatory) atau menerangkan, maka anggota sampel harus lebih banyak;

c)        Jika kita memilih anggota sampel yang banyak, maka tingkat prediksi relative tepat, kesalahan mentabulasi dan menghitung besar, reliabilitas besar, dan power meningkat, demikian pula sebaliknya.

2.      Ketepatan

        Semakin kecil kita memilih taraf signifikansi atau alpha (α), semakin banyak anggota sampelnya.Dengan demikian semakin tepat atau teliti ramalan kita.

3.      Pertimbangan nonrespon

        Pertimbangan nonresponse ialah perkiraan jumlah anggota sampel yang dapat dijadikan responden setelah seluruh anggota sampel dikurangi dengan jumlah anggota sampel yang dijadikan kelompok uji coba instrument penelitian.Anggota sampel yang sudah dijadikan kelompok uji coba sebaiknya tidak dipakai sebagai respomdem untuk mendapatkan data yang sebenarnya.Selain mempertimbangkan di atas, juga perlu dipertimbangkan beberapa responden yang bersedia mengembalikan angket atau dapat diwawancarai serta diobservasi.

E.     TEKNIK MENGHITUNG BESARNYA ANGGOTA SAMPEL

               Teknik menghitung besarnya anggota sampel secara umum dapat dilakukan dengan dua cara yaitu:

(1)   Proporsi, dam

(2)   Ketelitian estimasi.

1.      Proporsi

        Perhitungan besarnya anggota sampel dengan menggunakan cara proporsi dapat menggunakan sejumlah rumus, namun pada kesempatan ini diperkenalkan tiga buah rumus untuk menghitung besarnya anggota sampel. Rumus-rumus tersebut sebagai berikut.

a)      n ≥ pq (^{z ½ α})²

      α

dimana: n = jumlah anggota sampel minimal

              p = proporsikelompok pertama

 q = proporsi kelompok kedua = (1-p)

α = taraf signifikansi

z _{½ α}= nilai Z tabel

2.      Ketelitian estimasi

a)      Ketelitian estimasi

N =   s      ²

        SE_x

di mana n = banyaknya sampel

 s      = standar deviasi (diketahui)

SE_x = standar error

b)      Rumus dasar confidensi interval

W = 2z _{½ α} σ

                   √n

di mana w  = interval estimasi

  2z _{½ α}=  standar skor untuk tertentu

   Σ            = simpangan baku populasi (diketahui)

   N           = besarnya anggota sampel atau banyak sampel